El máximo común divisor de dos o más números
naturales (enteros positivos) es, como su nombre indica, el mayor de los
divisores comunes a dichos números.
Las abreviaturas empleadas para designar al Máximo Común Divisor pueden ser, indistintamente, M.C.D.⇔ MCD o también m.c.d. ⇔ mcd
El método más sencillo e intuitivo para saber cúal es el máximo común divisor de varios números, consiste en calcular los divisores de cada número y, de los divisores comunes a dichos números, el mayor de ellos será su Máximo Común Divisor.
Máximo Común Divisor de 6, 12 y 18
Los divisores de 6 son ⇒ 1, 2, 3, 6 Los divisores de 12 son ⇒ 1, 2, 3, 4, 6, 12 Los divisores de 18 son ⇒ 1, 2, 3, 6, 9, 18
Los divisores comunes de 6, 12 y 18 son ⇒ 1, 2, 3, 6
Como el mayor es 6, el M.C.D. (6 , 12 , 18) = 6
Si dos números sólo tienen como divisor común el 1 decimos que son Primos Entre Si, y entonces su Máximo Común Divisor es igual a 1.
Otro procedimiento para calcular el máximo común divisor, más corto y que resulta más fácil de utilizar, es la factorización (descomposición en factores primos) de los números. Para ello, procederemos como sigue:
Realizamos la factorización de los números.
Tomamos todos los factores comunes elevados al menor exponente.
El M.C.D será el producto de los factores anteriores.
Máximo Común Divisor de 36, 84 y 120
Factorización de 36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 22 x 32 Factorización de 84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 22 x 3 x 7 Factorización de 120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 23 x 3 x 5
Factores comunes, con menor exponente ⇒ 22 y 3
2 x 2 x 3 = 12, por tanto, el M.C.D. (36, 84, 120) = 12
Los números que no tiene ningún factor primo común son Primos Entre Si, y su Máximo Común Divisor es igual a 1.
Por último, también podemos hallar el Máximo Común Divisor de dos números por el método de las divisiones sucesivas, conocido como algoritmo de Euclides.
Este procedimiento es muy útil cuando los números son grandes. Para hallar el Máximo Común Divisor de dos números procedemos como sigue:
Dividimos el mayor por el menor, si el resto es cero, el divisor (el menor) es el M.C.D de los dos números.
Si el resto no es cero, se divide nuevamente el divisor entre el resto. Si el nuevo resto es cero, el último divisor (el resto anterior) es el M.C.D.
Si el nuevo resto no es cero, seguimos haciendo lo mismo hasta conseguir un resto igual a cero. El último divisor, el que nos da un resto igual a cero, será el M.C.D de los números dados.
Si el último divisor, el que nos da resto cero, es igual a 1, quiere decir que sólo tienen como divisor común el 1, es decir, son Primos Entre Si, y su Máximo Común Divisor es igual a 1.
Máximo Común Divisor de 2310 y 98
2310 : 98 = 23 de cociente y 56 de 1er resto 98 : 56 = 1 de cociente y 42 de 2o resto 56 : 42 = 1 de cociente y 14 de 3er resto 42 : 14 = 3 de cociente y 0 de 4o resto
Como el divisor 14 nos da un resto igual cero, es el M.C.D de los números dados. M.C.D. (2310 , 98) = 14
Con el menú de la izquierda puedes practicar el Máximo Común Divisor.
